Исторические сведения

Исторические сведения о развитии геометрии

Первые геометрические понятия приобретены           людьми в глубокой древности. Они возникли из потребности определять вместимость различных предметов (сосудов, амбаров и т. п.) и площади земельных участков. Древнейшие известные нам письменные памятники, содержащие правила для определения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне около 4 тысяч лет назад. Около 2,5 тысяч лет назад греки заимствовали у египтян и вавилонян их геометрические знания. Первоначально эти знания применялись преимущественно для измерения земельных участков. Отсюда и греческое название «геометрия», что означает «землемерие».

         Греческие ученые открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний. В ее основу они положили простейшие геометрические свойства, подсказанные опытом. Остальные свойства выводились из простейших с помощью рассуждений. Эта система около 300 г. до н. э. получила завершенный вид в

                   Евклид

«Началах» Евклида, где изложены также основы теоретической арифметики. Геометрические разделы «Начал» по содержанию и по строгости изложения примерно совпадают с нынешними школьными учебниками геометрии.

         Однако там ничего не говорится ни об объеме, ни о поверхности шара, ни об отношении окружности к диаметру (хотя есть теорема о том, что площади кругов относятся, как квадраты диаметров). Приближенная величина этого отношения была известна из опыта задолго до Евклида, но только в середине III в. до н. э. Архимед (287—212) строго доказал, что отношение окружности к диаметру (т. е., по-нашему, число π) заключено между  и . Архимед доказал также, что объем шара меньше объема описанного цилиндра ровно в  раза и что поверхность шара в  раза меньше полной поверхности описанного цилиндра.

         В способах, примененных Архимедом для решения упомянутых задач, содержатся зачатки методов высшей математики. Эти способы Архимед применил к решению многих трудных задач геометрии и механики, очень важных для строительного дела и для мореплавания. В частности, он определил объемы и центры тяжести многих тел и изучил вопрос о равновесии плавающих тел различной формы.

         Греческие геометры исследовали свойства многих линий, важных для практики и для теории. Особенно полно они изучили конические сечения. Во II в. до н. э. Аполлоний обогатил теорию конических сечений многими важными открытиями, остававшимися непревзойденными в течение восемнадцати веков.

         Для изучения конических сечений Аполлоний пользовался методом координат. К изучению всевозможных линий на плоскости этот метод был применен лишь в 30-х годах XVII в. французскими учеными Ферма (1601 —1655) и Декартом (1596—1650) Для технической практики того времени было достаточно плоских линий. Лишь сто лет спустя, когда этого потребовали возросшие запросы астрономии, геодезии и механики, координатный метод был применен к изучению кривых поверхностей и линий, проведенных на кривых поверхностях. Систематическое развитие метода координат в пространстве было дано в 1748 г. русским академиком Эйлером — гениальным и всесторонним ученым.

         Более двух тысяч лет система Евклида считалась непреложной. Но в 1826 г. гениальный русский ученый Н. И. Лобачевский создал новую геометрическую систему. Исходные ее положения отличаются от основных положений Евклида лишь в одном пункте. Но отсюда вытекает множество очень существенных особенностей.

         Так, в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше, чем 180° (в геометрии Евклида она равна 180°). При этом недостаток до 180° тем больше, чем больше площадь треугольника. Может показаться, что опыт опровергает этот и другие выводы Лобачевского. Но это не так. Непосредственно измеряя углы треугольника, мы находим, что они в сумме составляют примерно 180°. Точной же величины суммы мы не можем найти вследствие несовершенства измерительных инструментов. Между тем все те треугольники, которые доступны нашему измерению, слишком малы, чтобы непосредственными измерениями обнаружить недостаток суммы углов до 180°.

         При дальнейшем развитии гениальных идей Лобачевского оказалось, что система Евклида недостаточна для исследования многих вопросов астрономии и физики, где мы имеем дело с фигурами огромных размеров. Однако в условиях обычного опыта она остается вполне пригодной. А так как к тому же она обладает преимуществом простоты, то ее применяют и будут применять в технических расчетах, ее изучают и будут изучать в школах.

         Древнеегипетскую и вавилонскую культуру в области математики продолжали греки. Они не только усвоили весь опыт их геометрии, но и пошли гораздо дальше. Ученые древней Греции сумели привести в систему накопленные геометрические знания и, таким образом, заложить начала геометрии как дедуктивной науки.

          Греческие купцы познакомились с восточной математикой, прокладывая торговые пути. Но люди Востока почти не занимались теорией, и греки быстро это обнаружили. Они задавались вопросами: почему в равнобедренном треугольнике два угла при основании равны; почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах?

         К сожалению, не сохранилось первоисточников, описывающих ранний период развития греческой математики. Только благодаря восстановленным текстам четвертого столетия до нашей эры и трудам арабских ученых, которые были богаты переводами сочинений авторов античной Греции, мы располагаем изданиями Евклида, Архимеда, Аполлония и других великий людей. Но в этих произведениях уже представлена вполне развитая математическая наука.

          Математика древней Греции прошла длительный и сложный путь развития, начиная с VI столетия до н.э. и по VI век. Историки науки выделяют три периода ее развития в соответствии с характером знаний:

1 - Накопление отдельных математических фактов и проблем (6 - 5B.B. до н.э.).

2 - Систематизация полученных знаний (4 - 3 в.в. до н.э.).

3 - Период вычислительной математики (3в. до н.э. - 6 в.).

          Необыкновенный расцвет науки и культуры был тесно связан с общим подъемом греческого производства 6 - 4 в.в. до н.э., жизненными потребностями людей. Проблемы механики, астрономии, строительства, архитектуры, мореплавания требовали совершенствования математических методов, начиная от вычислительной геометрии и до учения об отношениях, способах определения площадей, объемов, центров тяжести.

          Большое значение для развития наук имела общественно - политическая жизнь городов - полисов, особенно после установления демократии. В математике так же, как и в политических или судебных спорах, становилось нужным давать точные определения понятий, развивать строгие обоснования. В это время возникли первые философские школы, которые логически объясняли свое миропонимание, исходя из небольшого числа положений, принимаемых без доказательства. Такой логический подход был введен также в геометрию и скоро стал в ней основным методом установления истинности предложений. Как и естествознание, математика, начиная с самого своего формирования как науки, явилась ареной борьбы материализма и идеализма. Выступая против религиозных мифологических фантазий, древнегреческие философы, разделявшие стихийно-материалистические взгляды, искали в самой природе начало бытия, и математика служила средством, содействовавшим им в этих поисках. Между тем философы-идеалисты видели в числах начало всех вещей, а в математике - основу всей науки. Таким образом, пока она не обособилась от философии, борьба двух мировоззрений происходила непосредственно внутри нее самой.

Опыт филосовских школ

          Первой среди научных и философских школ древней Греции была ионийская (VI в. до н.э.). Ее ученые впервые стали заниматься геометрией, однако строгой геометрической системы не создали. У них имелось лишь собрание правил, найденных эмпирическим путем, которыми они пользовались при конкретных построениях.

         Представителем новой формы рационального мышления в математике, основателем ионийской школы считается Фалес Милетский (640 - 548 г.г. до н.э.). Во время путешествий он посетил Египет, где и познакомился с астрономией и геометрией. Легенда рассказывает о том, что Фалес привел в изумление египетского царя Амазиса, измерив высоту одной из пирамид по величине отбрасываемой ею тени. В геометрии ему приписывают ряд утверждений. Вот первое из них: "Диаметр делит окружность (круг) пополам". Доказательством служил рисунок - круг, разделенный на равные секторы. Он обосновал также и другие: "Углы при основании равнобедренного треугольника равны", второй признак равенства треугольников. Фалес мыслил углы не как величины, а как фигуры, имеющие некоторую форму.

         В этой школе был введен процесс обоснования как необходимый компонент математической деятельности, что являлось отличительной чертой их математики. Свое существование школа прекратила после падения Милета, завоеванного персами в 494 году до н. э. Дальнейшее развитие математики происходило в другой древнегреческой школе, основателем которой был легендарный Пифагор (564-473 г.г. до н. э.).

          Ученый был, по преданиям, уроженцем острова Самос. Он учился у Фалеса и Анаксимандра. По совету первого Пифагор отправился для усовершенствования своих знаний в Египет, где прожил около 22 лет и познакомился с теми математическими сведениями, которые хранились жрецами со времен глубокой древности. Возвратившись в Грецию, он основал в Кротоне (южная Италия) научную школу, больше походившую на политическую партию и религиозное братство. Философия пифагорейцев стремилась обосновать вечный и неизменный мировой порядок, а вместе с ним и власть аристократии.

          Пифагор и его ученики считали, что с помощью чисел можно выразить все закономерности мира, они являлись основой всех вещей и явлений природы. Пифагорейцы изображали числа в виде точек, группируемых в геометрические фигуры, и называли их фигурными. Так, среди них они выделяли плоские и телесные. Точка, изображавшая единицу была неделимой и имела вокруг себя "поле". Поэтому каждое число можно было задать не только при помощи точек, но и квадратных полей.